Словарь Ожегова толкует слово "приют" следующим образом:
"при’ют, -а, м.1. см. ~ить.2. Место, где можно спастись или отдохнуть. Удобный п. для путников.3. Благотворительное учреждение для одиноких стариков, сирот, для бездомных. Сиротский п. П. для нищих.4. Небольшая спортивная база, пункт остановки, отдыха на сложном маршруте. Туристский, альпинистский п.прил. ~ский, -ая, -ое (к 3 знач.)."
Словарь Даля так:
"ПРИЮЧАТЬ, приютить кого, дать пристань, пристанище; принять, призреть, дать кров; пристроить кого, дать место, хлеб. Старика приютили в богадельне. Некому сирот приютить. Приютили змею подколодную, злого, неблагодарного человека. Кого захочу, того и приючу? смерть, -ся, страдат. возвр. по смыслу. Приюченье ср. приют м. об. действ. по глаг. | Приют, пристань, пристанище, кров, скрывище, убежище, прибежище, приклон, спокоище; притон. Приютами навывают заведенья для призренья дряхлых, убогих или сирых; богадельня; детские приюты, воспитательные заведенья. Где пиво пьют, тут и нам приют. Приютный, дающий приют и вообще где можно найти его. Приютовый, относящ. к заведенью, к приюту. Приютливый, охотно дающий приют; приючающий со всеми удобствами. Приючатель, приютитель, -ница, приючаюший кого-либо. Приютник, -ница, кого содержат в приюте; приютчик, -чица, приютитель; | служащий в приюте, смотритель приюта."
О животных в те времена не думали особо. Времена меняются, слава Богу, находятся энтузиасты. Если они считают нужным назвать свое заведение приютом, почему нет? Для уточнения желающим пристроить животное можно к названию приделать слово "негосударственный" и т.п. с оговоркой, что животные принимаются по мере наличия мест.
В любом случае я бы (не приведи Господь) не повез туда животное вот так - здрасьте, вот они мы, хотим передать его вам. Так дела не делаются, даже из благих побуждений. Необходимо сначала как минимум созвониться и уточнить условия приема и содержания. В идеальном варианте - предварительно с'ездить и посмотреть, что и как.